Nacido en Buenos Aires el 14 de julio de 1922, Cozzi se convirtió en el gran referente del arco de Platense, equipo en el que debutó a los 19 años. Tan bueno era Julio, que incluso fue el titular de Argentina en la Copa América de 1947, cuando aún se llamaba Suramericano.
Llegó a Colombia en 1950 precedido de gloria y fama, y conformó el que es considerado el mejor Millonarios de la historia y uno de los mejores equipos de todos los tiempos. Si bien Pedernera, Di Stéfano, Báez, Pini, Soria, Rossi y compañía eran los encargados de crear una leyenda que incluso le ganó al Real Madrid en España por 2-4, Cozzi era la cuota de seguridad para que sus compañeros brillaran.
Cozzi regresó a Argentina en 1954, después del Pacto de Lima en el que se acabó la liga sancionada por la Fifa que fue «El Dorado», y en su país volvió a jugar en Platense, Banfield e Independiente, pero sus mejores años los había tenido vestido de azul. Regresó a Bogotá en 1961 para retirarse con el equipo con el que fue campeón de 1951, 52 y 53. Se fue una leyenda. Paz en su tumba.